O problema da justificação dos axiomas em teoria de conjuntos
A axiomática de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, conhecida como ZFC, foi estabelecida no início do século XX como fundamentação para a Matemática. Desde a descoberta, por Kurt Gödel, de resultados de independência e, sobretudo, após Paul Cohen demonstrar a independência da Hipótese do Contínuo (CH) em relação a ZFC usando um método chamado de forcing, uma das tarefas centrais dos estudos fundacionais passou a ser a extensão de ZFC por meio de novos axiomas capazes de resolver problemas independentes. No entanto, a questão de como justificar tais axiomas permanece profundamente controversa. Nesta palestra, revisaremos o debate sobre a busca por novos axiomas para a teoria dos conjuntos, discutindo em particular a posição de Gödel sobre a justificação de axiomas e o que frequentemente é chamado de “programa de Gödel”: a ideia de uma extensão gradual e justificada de ZFC. Apresentaremos também o estado atual desse debate nas fundações da teoria dos conjuntos, com atenção especial às direções contemporâneas de pesquisa, como os axiomas de forcing e o programa de modelos internos.
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