MAE5750 - Probabilidade e Inferência Estatística II

1) Suponha que um ponto $p$ do intervalo $[0,1]$ é escolhido aleatoriamente dividindo o mesmo em dois pedaços $[0,p]$ e $(p,1]$. Encontre o comprimento esperado do maior intervalo.

2) Suponha que $X_1, \dots , X_n$ formem uma amostra aleatória de tamanho $n$ de uma distribuição uniforme em $[0,1].$ Sejam $Y_1 = \min\{ X_1, \dots , X_n\}$ e $Y_n = \max\{X_1, \dots , X_n \} .$ Encontre ${I\kern-0.19emE}(Y_1)$ e ${I\kern-0.19emE}(Y_n).$

3) Seja $X$ uma v.a. com ${I\kern-0.19emE}(X) = \mu$ e $V(X)= \sigma^2 .$ Para $c$ uma constante arbitrária, mostre que

$${I\kern-0.19emE}[(X-c)^2] = (\mu -c)^2 + \sigma^2.$$

(Interprete!!!)

4) Suponha que $X$ seja uma v.a. com ${I\kern-0.19emE}(X^2) < \infty.$ a) Mostre que ${I\kern-0.19emE}(X^2) \geq [{I\kern-0.19emE}(X)]^2.$

b) Mostre que ${I\kern-0.19emE}(X^2) = [{I\kern-0.19emE}(X)]^2$ se e só se ${I\kern-0.3emP}(X=c) = 1, \forall c$.

5) Suponha que $X$ seja uma v.a. com f.g.m.

$$\phi(t) = e^{t^2 + 3t}, \hbox{para } -\infty < t < \infty.$$

Encontre a média e a variância de $X$.

6) Seja $X$ uma v.a. com média $\mu$ e variância $\sigma^2$, e considere $\phi_1(t)$ sua f.g.m. para $-\infty < t < \infty.$ Seja $c$ uma copnstante positiva e $Y$ uma v.a. com f.g.m.

$$\phi_2(t) = e^{c \vert\phi_1(t)-1\vert}, -\infty < t < \infty.$$

Encontre aexpressões para ${I\kern-0.19emE}(Y)$ e $V(Y)$ em função da média e variância de $X$.

7) Seja $X$ uma v.a. com f.d. $F(\dot)$. Suponha que $a < b$ sejam medianas de $X$.

a) Prove que $F(a) = 1\over 2.$

b) Prove que existem $c$ e $d$ com $c \leq a$ e $b \leq d$ tal que todo número em $[c,d]$ é mediana de $X$.

c) Se $X$ é discreta, prove que $F(d) > 1\over 2$.

8) Suponha que $X, Y$ e $Z$ sejam v.a. com $V(X)=1, V(Y)=4, V(Z)=8, Cov(X,Y)=1, Cov(X,Z)= -1$ e $Cov(Y,Z)=2.$ Determine a) $V(X+Y+Z) b) V(3X-Y-2Z+1)$

9) Se $X$ e $Y$ são v.a. arbitrárias com primeiro e segundo momentos centrais, prove que

$$V(Y) = {I\kern-0.19emE}[ V(Y\vert X)] + V[ E(Y\vert X)].$$

10) Uma seqüência de v.a. $Z_1 , Z_2 , \dots$ converge a uma constante $b$ em média quadrática se $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {I\kern-0.19emE}[(Z_n - b)^2] = 0.$ Mostre que $\overline{X}_n$ (média amostral) converge em média quadrática a ${I\kern-0.19emE}(X).$

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