MAE312 Introdução aos Processos Estocàsticos

$1^{\underline a}$ Lista de Exercícios

1) Seja $(X_n)_{n \geq 0}$ uma Cadeia de Markov. Encontre

(a) P( $X_1 = 0 \slash X_0 =0, X_2=0),$

(b) P( $X_1 \neq X_2).$

2) Suponha que temos duas caixas e $2n$ bolas, das quais $n$ são pretas e $n$ são vermelhas. A cada passo uma bola é selecionada ao acaso de cada caixa e as duas bolas selecionadas são devolvidas para as caixas opostas. Seja $X_0$ o número de bolas pretas inicialmente na caixa 1, e para $n\geq 1, X_n$ denotará o número de bolas pretas na caixa 1 após a $n-$ésima retirada. Encontre a função de transição da Cadeia de Markov definida por $X_n .$

3) Seja $(X_n)_{n \geq 0}$ uma Cadeia de Markov. Mostre que

$$P(X_0 = x_0 \slash X_1=x_1, \dots , X_n = x_n) = P(X_0 = x_0 \slash X_1=x_1).$$

4) Seja $(X_n)_{n \geq 0}$ uma Cadeia de Markov com dois estados. Encontre

(a) $P_0( T_0 = n ),$

(b) $P_0(T_1 = n ).$

5) Verifique as seguintes identidades:

(a) $P_x(T_y \leq n+1) = P(x, y) + \sum\limits_{x \neq z} P(x,z) P_z(T_y \leq n), n \geq 0.$

(b) $F(x, y) = P(x, y) + \sum\limits_{x \neq z} P(x, z) F(z, y).$

6) Considere a Cadeia de Markov com ${\cal S}= \{ 0, 1, 2 \}$ e matriz de transição dada por

$$\underline{P} = \left(\matrix{0&1&0\cr 1-p & 0 & p \cr 0 & 1 & 0\cr}\right).$$

(a) Encontre $P^2 .$

(b) Mostre que $P^4 = P^2 .$

(c) Encontre $P^n, n \geq 1.$

7) Considere a ruína do jogador em $\{ 0, \dots , d \}.$ Encontre

$$P_x( T_0 < T_d).$$

P>