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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
  \large \bf \sf Segunda Lista de Lógica Fuzzy
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
  \bf Cursos de Verão IME-USP - 2002
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\quest Seja $U$ um conjunto e $\mathcal{P}(U)$ o conjunto das partes de
$U$. Mostre em detalhe que $\mathcal{P}(U)$ é uma álgebra de Boole.

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $\mathbb{N}$ o conjunto dos números naturais (inteiros
positivos). Seja $R$ a relação: $mRn$ se $n$ é um múltiplo de $m$. Mostre que
com esta relação $\mathbb{N}$ é um reticulado distributivo.

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $f: U \to V$ uma função entre dois conjuntos. Mostre que se $f$
for sobrejetora então $ff^{-1}: \mathcal{P}(V) \to \mathcal{P}(V)$ é a
identidade e que se $f$ for bijetora então $f^{-1}f: \mathcal{P}(U) \to
\mathcal{P}(U)$ é a identidade.

\vspace{0.3cm}

\quest Sejam $A$ e $B$ conjuntos nebulosos e $\alpha \in [0,1]$, então
vale \[ (A\vee B)_{\alpha} = A_{\alpha} \cup B_{\alpha}\] e 
\[  (A\wedge B)_{\alpha} = A_{\alpha} \cap B_{\alpha}\]

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $A$ um conjunto nebuloso de $U$ e $A_\alpha$ o $\alpha$-corte de
A.

(a) Mostre que para todo $x\in U$ \[ A(x)= \bigvee_{\alpha \in [0,1]}\alpha
\chi_{A_{\alpha}(x)}\]

\vspace{0.3cm}

\quest  Suponha que $\{ B_{\alpha}\}$ é uma família de subconjuntos de $U$ que
satisfaz para todo $x\in U$: \[ A(x)= \bigvee_{\alpha \in [0,1]}\alpha
\chi_{B_{\alpha}(x)}.\] Mostre que para todo $\alpha$ vale $B_{\alpha} \subset A_{\alpha}$.

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $C$ um reticulado completo e $\mathcal{P}(U)$ o conjunto das
partes de um conjunto $U$. Escolha um subconjunto qualquer $D$ de $C$ e seja 
$A: U \to C$. Prove o seguinte:

(a) Se $\alpha \leq \beta$ então $A_\alpha \supseteq A_\beta$.

(b) $\bigcap_{\alpha \in D}A_\alpha \subseteq A_{\wedge D}$

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $A : \mathbb{R} \to [0,1]$ um conjunto nebuloso de $\mathbb{R}$ e 
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função definidos abaixo:
\begin{eqnarray*}
  A(x)&=& \chi_{\{ 0 \}}(x) + \text{e}^{-\frac{1}{x}}\chi_{(0,\infty)}(x) \\
  f(x)&=& x\chi_{(0,1)}(x) + \chi_{[0,1)}(x)
\end{eqnarray*}
Mostre que $\hat{f}(A)_1 \neq f(A_1)$.
 
\end{document}

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