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Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística LEÔNIDAS DE OLIVEIRA BRANDÃO DCC / IME / USP http://www.ime.usp.br/~leo

Como calcular a forma fechada de qualquer série, desde que polinomial!

Uma técnica muito simples (desconsiderando a dificuldade de se resolver um sistema linear) para se computar ``formas fechadas'' polinomiais de séries, é montar (e resolver) um sistema linear associado à série, de modo que o valor do polinômio no ponto k coincida com a série calculada até o inteiro k.

[ Isto pode ser generalizado usando funções quaisquer (além das funções polinomiais $x$_k). Por exemplo, se sabemos que a ``formas fechadas'' da série até o inteiro k é   $a$<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>e<sup>k</sup> + a<sub>2</sub> seno(k) + ... + a<sub>L</sub> k cos( k ),   podemos escrever L+1 equações igualando a série e sua suposta ``formas fechadas''.]

Vamos examinar com um pouco mais de cuidado esta técnica, apenas no caso de ``formas fechadas'' polinomiais. Seja


, onde f(k)=alguma função com domínio nos naturais.

Se




para computarmos os coeficientes de P(.), basta escrevermos L+1 equações, impondo identidades do tipo . Por razões de simplicidade, tomaremos estas L+1 equações a partir de 0, ou seja, faremos, , para k entre 0 e L. Como, neste exemplo, $P(0)=a$₀=0, devemos procurar apenas os valores para os coeficientes $a$₀, a₁ até $a$_L.

Observação: Se desconhecemos o valor L, devemos superestimá-lo, isto é tentar com valores grandes para L, de modo que os coeficientes de potência maior que o grau do polinômio efetivo serão 0.

Passo 0 Compute , para (L é qualquer ``chute grande'')

Passo 1 Resolva o sistema linear, (aqui vale $a$₀=0 sempre)





Para se resolver este sistema, pode-se usar qualquer programa computacional adequado, em particular, poderíamos nos utilizarmos de PARI-GP. A seguir são apresentados dois exemplos de utilização deste pacote, que deverão ser bem entendidos para se poder fazer o exercício proposto ao final.

Matrizes no Pari-GP: Digite o exemplo abaixo no diretório C:\TRAB com o nome sist-l.txt.

\\ --------------------------------------------------------------------\\
\\ EXEMPLO: uso de matrizes, vetores e resolucao de sistemas lineares no
\\          PARI-GP
\\ Modo de usar este programa (sist-l.txt no diretorio C:\TRAB):
\\      F:\LABMAT\GP\> gp < c:\trab\sist-l.txt
\\ --------------------------------------------------------------------\\

\\ define matriz A e matriz coluna b
A=[1,-1,3; 0,1,2; 2,3,7];
b=[6;0;3];

print( Gauss(A,b) );
\\ define vetor solucao, e confere resultado!
x=Gauss( A,b );
print("A x = b ?");
print("A x = ",A*x);
print("b =",b);
\q

Sistemas Lineares no PARI-GP: Digite o exemplo abaixo no diretório C:\TRAB com o nome pol2.txt.

\\ --------------------------------------------------------------------\\
\\ EXEMPLO: como listar os valores de um polinômio aplicado aos primeiros
\\          naturais no PARI-GP
\\ Modo de usar este programa (pol2.txt no diretorio C:\TRAB):
\\      F:\LABMAT\GP\> gp < c:\trab\pol2.txt
\\ --------------------------------------------------------------------\\

Ng=4;
x=[0,0,0,0,1];
for (j=1,10, aux=0;for(k=0,Ng,aux=aux+x[k+1]*j^k);print("p(",j,")=",aux));
\q

Exercício: Tente obter as ``formas fechadas'' para as séries abaixo apresentadas, fazendo quatro arquivos .txt (um para cada série), com comando PARI-GP (vide os exemplos), que façam:

• compute os coeficientes do polinômio;
• imprima a verificação da solução do sistema linear (como no primeiro exemplo, o ...confere resultado!)
• imprima a verificação de corretude do polinômio PARA A SÉRIE, considerando os 15 primeiros naturais (como equematizado abaixo)

      for( j=0,15, calcule_série_até_j_para_S; calcule_pol_em_j_para_aux;
           print1(j," Serie=",S,"P(",j,")=",aux))
      

As séries são:





Observação: Se chegou a conclusão que alguma das séries não pode ser escrita como um polinômio, apresente um CONTRA-EXEMPLO, isto é, SE o polinômio foi computado corretamente (para valores muito grande de L - indique o último que computou) e existe algum ponto , ,   apresente estes valores.

Solução:  

\\ Exemplo de program Pari-GP: 25/08/1997
\\ --------------------------------------
\\ Encontra "formas fechadas" para series que tenham "solucao" polinomial
\\ Usa sistemas lineares
\\  Se         S(k):=f(0)+f(1)+ ... +f(k)  e 
\\   existem   L  e  P(j):=a_0 + a_1 j + a_2 j^2 +...+ a_L j^L, 
\\   tais que  S(j)=P(j), para todo j natural
\\                 
\\  Entao       A x = b, onde x[i]=a_i,  b[i]=S(i)  e
\\              _              _   _   _     _   _
\\             |1 0 0   ... 0   | | a_0 |   | b_0 |
\\             |1 1 1   ... 1   | | a_1 |   | b_1 |
\\             |1 2 2^2 ... 2^L | | a_2 | = | b_2 |
\\             |. . .           | | ... |   | ... |
\\             |1 L L^2 ... L^L | | a_L |   | b_L |
\\              -              -   -   -     -    -

\\ Define a serie S(k)
   [ f(n) = n^2 ]:
 
\\ "Chute" para o valor L => constroe matriz A[.,.]
   L = 10

   \\print(A):
   \\ No GP:  0^0=1
   \\ A=[ 1,0,0,  ...,0  ;
   \\     1,1,1,  ...,1  ; 
   \\     1,2,2^2,...,2^L; 
   \\     ...
   \\     1,L,L^2,...,L^L]:

\\ Constroe vetor b => b[i] = f(0) + f(1) + ... + f(i)
   b = vector( L+1, x, sum(0, n=0, x-1, f(n) ) ):
   \\print(b):

\\ Encontra os coeficientes do polinomio P(.)
   x=gauss(A,b): print():
   print("Coeficientes:",x):

\\ Confere se a solucao encontrada coincide com os valores da serie
   print("Para conferir Resultado: Serie efetiva  x  Pol. Calculado "):
   print("       Serie  Polinomio"):
   s=0:

   for(j=1,10,
         s=s+f(j):
         print1("j=",j," | S=",s,"     "):
         aux=0:
         for(k=1,L+1,
               aux=0:
               for(k=1,L+1,
                     aux=aux+x[k]*j^(k-1)
                  ):
               print(aux)
             )
       ):

\q




Leônidas O Brandão - DCC/IME/USP
27 Agosto 1997