IME-USP

Formalismo Termodinâmico para Shifts de Markov Contáveis Generalizados

Candidato(a): Thiago Costa Raszeja

Orientador(a): Rodrigo Bissacot

Resumo: Shifts de Markov com alfabeto enumer\’avel, os quais denotamos por $\Sigma_A$ para uma matriz 0-1 infinita $A$, s\~ao objetos centrais em Din\^amica Simb\’olica e Teoria Erg\’odica. R. Exel e M. Laca introduziram suas correspondentes \’algebras de operadores como uma generaliza\c{c}\~ao das \’algebras de Cuntz-Krieger para um alfabeto infinito e cont\’avel. Eles introduziram o conjunto $X_A=\Sigma_A \cup Y_A$, que \’e um tipo de {\it shift de Markov cont\’avel generalizado}, uma vez que coincide com o espa\c{c}o $\Sigma_A$ no caso localmente compacto. O espa\c{c}o $X_A$ cont\’em como subconjuntos densos o shift de Markov usual e um subconjunto de palavras finitas permitidas $Y_A$, este \’ultimo \’e denso quando for n\~ao vazio. Desenvolvemos o formalismo termodin\^amico para os shifts de Markov generalizados, introduzindo a no\c{c}\~ao de medida conforme em $X_A$ e explorando suas conex\~oes com o formalismo termodin\^amico usual em $\Sigma_A$. Novos fen\^omenos surgem, como diferentes tipos de transi\c{c}\~ao de fase e novas medidas conformes que n\~ao s\~ao detectadas pelo formalismo termodin\^amico cl\’assico quando a matriz n\~ao \’e row-finite. Dado um potencial $F$ e inverso da temperatura $\beta$, estudamos o problema de exist\^encia e aus\^encia de medidas conformes $\mu_{\beta}$ associadas a $\beta F$. Apresentamos exemplos onde existe um valor cr\’itico $\beta_c$, em que temos exist\^encia de probabilidades conformes satisfazendo $\mu_{\beta}(\Sigma_A)=0$ para todo $\beta > \beta_c$ e, na topologia fraca$^*$, quando tomamos o limite $\beta$ indo para $\beta_c$, o conjunto de probabilidades conformes para inverso de temperatura $\beta > \beta_c$ colapsa para a probabilidade conforme usual $\mu_{\beta_c}$ tal que $\mu_{\beta_c}(\Sigma_A) = 1$. Estudamos em detalhe o shift renewal generalizado e modifica\c{c}\~oes deste. Destacamos a bije\c{c}\~ao entre os elementos do alfabeto que s\~ao emissores infinitos e medidas de probabilidade conformes para essa classe de shifts do tipo renewal. Provamos a exist\^encia de automedidas de probabilidade da transforma\c{c}\~ao de Ruelle para temperaturas baixas o suficiente para um potencial particular no shift de renewal generalizado; estas medidas n\~ao s\~ao detectadas no renewal shift usual, dado que, para temperaturas baixas, o potencial $\beta F$ \’e transiente.

Palavras-Chave: transição de fase, shift de Markov com alfabeto enumerável, formalismo termodinâmico, Exel-Laca álgebra, estados KMS, dinâmica simbólica, sistemas dinâmicos, medidas conformes

LOCAL: https://us02web.zoom.us/j/81366879278?pwd=M3phS0R1SlJBR09aRzErWllwTWp1dz09

Data

17 - 31/12/2020
Expired!

Tempo

07:00 - 10:00
Categoria