IME-USP

Álgebras de caminhos generalizadas com relações e suas representações

Defesa de Mestrado

Programa de Pós-Graduação em Matemática

 

Candidato(a): Viktor Chust Bugno Pires de Almeida

Orientador(a): Flávio Ulhoa Coelho

Resumo: O conceito de álgebras de caminhos generalizadas (abreviadas aqui por ACG), tal como tratado neste texto, foi introduzido por F. U. Coelho e S. X. Liu em [7]. O objetivo da presente dissertação é aprofundar o conhecimento sobre tais álgebras e suas representações, elencando tanto resultados já existentes na literatura quanto novas abordagens a serem apresentadas aqui. Seja $\Gamma$ uma aljava (também chamada de quiver, em inglês), e seja $\cal{A} = \{A_i : i \in \Gamma_0\}$ uma família de álgebras, onde $\Gamma_0$ é o conjunto dos vértices de $\Gamma$. Uma álgebra de caminhos generalizada $k(\Gamma,\cal{A})$ é definida como sendo o espaço vetorial tendo como base o conjunto de caminhos sobre $\Gamma$ intercalados por elementos
das álgebras $A_i$ que correspondem a cada vértice. A multiplicação em $k(\Gamma,\cal{A})$ é então definida por concatenação de caminhos e usando as multiplicações internas das álgebras $A_i$. Outro trabalho que
será fundamental aqui é o artigo [6]. Nele, os autores R. M. Ibáñez-Cobos, G. Navarro e J. López-Peña obtém generalizações para dois teoremas bem conhecidos de P. Gabriel, que originalmente tratam das álgebras de caminhos usuais (ver [3, 4], por exemplo, para uma introdução a esses teoremas). Um dos problemas com o quais lidamos é decidir quando uma álgebra dada é isomorfa a uma ACG de forma não trivial. O tratamento deste problema ganha contornos mais interessantes quando permitimos que as ACGs tenham relações. Adaptando as definições e os resultados de [6] a esse novo contexto, é possível abordar o problema citado acima usando critérios de natureza combinatória. Dada uma ACG $k(\Gamma;\cal{A})$, dizemos que uma propriedade de álgebras ou de representações vale localmente se ela vale para cada álgebra que pertence à família $\cal{A}$, e dizemos que ela vale globalmente se vale para a álgebra $k(\Gamma;\cal{A})$. A relação entre propriedades locais e globais é outro problema relevante que discutiremos aqui. Na literatura, exemplos dessas propriedades aparecem em [9, 15]. Ainda neste contexto, aprofundando uma discussão presente em [12], é possível descrever as representações de uma ACG que correspondem a módulos simples, projetivos e injetivos.

Palavras-Chave: álgebras de caminhos, álgebras de caminhos generalizadas, representações de álgebras, representações de aljavas

 

Apresentação online
https://meet.google.com/udr-dziu-vfv

Data

14/12/2020
Expired!

Tempo

15:00 - 18:00
Categoria