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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Constante de Euler}
\end{center}
\vskip.6cm

Consideremos as sequ\^encias $(A_n)$ e $(B_n)$ definidas por
\[
A_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}-\int_{1}^{n}\frac{1}{x}\,dx, \ \ B_n=A_n+\frac{1}{n},\ n\geq 2.
\]
Podemos interpretar $A_n$ como sendo a \'area da regi\ao\ acima do gr\'afico de $f(x)=1/x$, $1\leq x\leq n$, e dentro de $(n-1)$ ret\^angulos de base 1 colocados acima do gr\'afico na maneira que se usa para obter aproxima\coes\ da \'area por excesso (tente fazer uma figura s\'o com esta dica). 

Da\'i temos:
\[
A_{n+1}-A_n=\frac{1}{n}-\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}\,dx.
\]
Como $\frac{1}{x}<\frac{1}{n}$ se $n<x\leq n+1$, segue que $A_{n+1}-A_n>0$ para todo $n\geq 2$. Em seguida, observemos que 
\[
B_{n+1}-B_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+A_{n+1}-A_n=\frac{1}{n+1}-\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}\,dx.
\]
Como $\frac{1}{x}>\frac{1}{n+1}$ se $n\leq x< n+1$, segue que $B_{n+1}-B_n<0$ para todo $n\geq 2$.

Logo, temos $A_2\leq A_n<A_{n+1}<B_{n+1}<B_n\leq B_2$ para todo $n\geq 2$ e $\lim(B_n-A_n)=\lim\frac{1}{n}=0$. Assim, existe $\gamma$ satisfazendo $A_n<\gamma<B_n$ para todo $n\geq 2$ e $\lim A_n=\lim B_n=\gamma$. Esta constante \'e chamada de {\em constante de Euler}, vale aproximadamente 0,577 e n\ao\ se sabe se ela \'e racional ou irracional. 

Expressando a integral como um logaritmo neperiano, vem:
\[
\lim_{n\to\infty}B_n=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)=\gamma.
\]




\end{document}
