\documentclass[11pt]{amsart} 
\linespread{1.4}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\setlength{\textwidth}{17.5cm}
\setlength{\textheight}{55pc}
\setlength{\baselineskip}{1pc}
\setlength{\parindent}{8mm}
\setlength{\parskip}{0.4pc}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.52cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.52cm}
\setlength{\topmargin}{-2pc}
\setlength{\topskip}{3pc}
\setlength{\unitlength}{.3cm}
\newcommand{\ih}{\'{\i}}
\newcommand{\ao}{\~ao}
\newcommand{\cao}{\c{c}\~ao}
\newcommand{\coes}{\c{c}\~oes}
\newcommand{\oes}{\~oes}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Terceiro Trabalho de Sala em Grupo}
\end{center}
\vskip.6cm


O objetivo deste trabalho é demonstrar o seguinte resultado: se $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma seqüência de números reais tal que $x_n \longrightarrow a \in \mathbb{R}$, então a seqüência $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $$y_n := \frac{\sum_{1 \leq j \leq n} x_j}{n},$$ para todo $n \in \mathbb{N}$ é tal que $y_n \longrightarrow a$. Para tanto, vamos primeiramente demonstrar tal resultado supondo-se que $a = 0$, e é isso que faremos nos ítens a), b) e c).\\

Dado $\epsilon > 0$,\\

a) argumente que existe $M > 0$ satisfazendo $|x_n| < M$, para todo $n \in \mathbb{N}$; mostre que existe $n_0 \in \mathbb{N}$ de forma que, para todo $n \in \mathbb{N}, n \geq n_0$, tem-se que $|x_n| < \frac{\epsilon}{2}$;\\

b) mostre que $|y_n| \leq \frac{M n_0}{n} + \frac{\epsilon}{2}$, para todo $n \geq n_0$;\\

c) conclua que existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que $|y_n| < \epsilon$, para $n \geq n_1$. Conclua portanto que $y_n \longrightarrow 0$, como queríamos mostrar.\\

d) Mostre agora o resultado mais geral (isto é, supondo-se que o limite $a$ não é necessariamente igual a zero): se $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma seqüência de números reais tal que $x_n \longrightarrow a \in \mathbb{R}$, então a seqüência $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $y_n := \frac{\sum_{1 \leq j \leq n} x_j}{n}$, para todo $n \in \mathbb{N}$ é tal que $y_n \longrightarrow a$.\\ 





\end{document}
