\documentclass{amsart} 
\linespread{1.3}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\setlength{\textwidth}{17.5cm}
\setlength{\textheight}{55pc}
\setlength{\baselineskip}{1pc}
\setlength{\parindent}{8mm}
\setlength{\parskip}{0.4pc}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.52cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.52cm}
\setlength{\topmargin}{-2pc}
\setlength{\topskip}{3pc}
\setlength{\unitlength}{.3cm}
\newcommand{\ih}{\'{\i}}
\newcommand{\ao}{\~ao}
\newcommand{\cao}{\c{c}\~ao}
\newcommand{\coes}{\c{c}\~oes}
\newcommand{\oes}{\~oes}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Segundo Trabalho de Sala em Grupo}
\end{center}
\vskip.6cm

Este trabalho \'e uma aplica\cao\ do seguinte resultado, enunciado na aula de 19 de setembro: {\tt Se $(x_n)$ \'e uma sequ\^encia real, limitada superiormente e n\ao-decrescente }(isto \'e, se existe $M\in\R$ tal que $x_n<M$ para todo $n$ e, al\'em disso, $x_n\leq x_{n+1}$ para todo $n$), {\tt ent\ao\ $(x_n)$ possui um limite real}.  Ser\'a \'util tamb\'em o seguinte resultado, que pode ser usado sem demonstra\cao: {\tt Se $x_n\to a$, ent\ao\ $x_{n+1}\to a$}. 

\vskip.3cm
 
Seja $(x_n)$ a sequ\^encia definida por $x_1=\sqrt{2}$ e $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$, se $n\geq 1$. 

\begin{enumerate} 

\item Mostre por indu\cao\ que $x_n<2$ para todo $n$. 
%\item Mostre que, se $0<t<2$, ent\ao\ $t^2-t-2<0$.
\item Mostre que $(x_n)$ \'e crescente.
\item Mostre que existe $a=\lim x_n$ e que $a$ satisfaz a equa\cao\ $a^2=a+2$.
\item Ache o valor de $a$. 

\end{enumerate}

\vskip4cm

\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Segundo Trabalho de Sala em Grupo}
\end{center}
\vskip.6cm

Este trabalho \'e uma aplica\cao\ do seguinte resultado, enunciado na aula de 19 de setembro: {\tt Se $(x_n)$ \'e uma sequ\^encia real, limitada superiormente e n\ao-decrescente }(isto \'e, se existe $M\in\R$ tal que $x_n<M$ para todo $n$ e, al\'em disso, $x_n\leq x_{n+1}$ para todo $n$), {\tt ent\ao\ $(x_n)$ possui um limite real}.  Ser\'a \'util tamb\'em o seguinte resultado, que pode ser usado sem demonstra\cao: {\tt Se $x_n\to a$, ent\ao\ $x_{n+1}\to a$}. 

\vskip.3cm
 
Seja $(x_n)$ a sequ\^encia definida por $x_1=\sqrt{2}$ e $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$, se $n\geq 1$. 

\begin{enumerate} 

\item Mostre por indu\cao\ que $x_n<2$ para todo $n$. 
%\item Mostre que, se $0<t<2$, ent\ao\ $t^2-t-2<0$.
\item Mostre que $(x_n)$ \'e crescente.
\item Mostre que existe $a=\lim x_n$ e que $a$ satisfaz a equa\cao\ $a^2=a+2$.
\item Ache o valor de $a$. 

\end{enumerate}
\end{document}
