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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Primeiro Trabalho de Sala em Grupo}
\end{center}
\vskip1cm

O objetivo do trabalho \'e dar uma demonstra\cao\ geom\'etrica de que o lado e a diagonal de um pent\'agono regular s\ao\ incomensur\'aveis. Os itens abaixo s\ao\ o roteiro de uma poss\'ivel solu\cao\ para o problema. Esse roteiro \'e a apenas uma sugest\ao. Varia\coes\ desse roteiro s\ao\ aceit\'aveis, ou mesmo solu\coes\ seguindo um enfoque diferente, desde que atinjam o mesmo objetivo. 

Dado um pent\'agono regular ABCDE, seja F a interse\cao\ das diagonais $\overline{\mbox{AC}}$ e $\overline{\mbox{BE}}$, seja G a interse\cao\ das diagonais $\overline{\mbox{AC}}$ e $\overline{\mbox{BD}}$, seja H a interse\cao\ das diagonais $\overline{\mbox{BD}}$ e $\overline{\mbox{CE}}$, seja I a interse\cao\ das diagonais $\overline{\mbox{CE}}$ e $\overline{\mbox{AD}}$, seja J a interse\cao\ das diagonais $\overline{\mbox{AD}}$ e $\overline{\mbox{BE}}$. 

\hskip1cm (a) Mostre que os tri\^angulos $\Delta$ABC e $\Delta$ADE s\ao\ congruentes.

\hskip1cm (b)  Mostre que os tri\^angulos $\Delta$ABF e $\Delta$AJE s\ao\ congruentes.

\hskip1cm (c) Mostre que AE=FE e que AJ=JE=GJ. 

\hskip1cm (d) Mostre que o pent\'agono FGHIJ \'e regular. 

\hskip1cm (e) Denotando por $l_0$ e $d_0$, respectivamente, a medida do lado e da diagonal do pent\'agono ABCDE e por $l_1$ e $d_1$ a medida do lado e da diagonal do pent\'agono FGHIJ, mostre que $l_1=2l_0-d_0$ e $d_1=l_0-l_1$. 

Chame de P$_0$ o pent\'agono ABCDE e de P$_1$ o pent\'agono FGHIJ. Repita o processo usado para obter P$_1$ a partir de P$_0$ para obter o pent\'agono regular P$_2$ a partir de P$_1$, em seguida obtenha P$_3$ a partir de P$_2$, depois P$_4$, e assim sucessivamente. Denote por $l_n$ e $d_n$ a medida do lado e da diagonal do pent\'agono P$_n$. 

\hskip1cm (g) Mostre que, para todo $n\geq 1$, ${\displaystyle \frac{l_{n-1}}{l_n}=\frac{d_n}{l_n}+1}$. Conclua da\'i que existe uma constante $\alpha>1$ tal que 
${\displaystyle \frac{l_{n-1}}{l_n}=\alpha+1}$ para todo $n\geq 1$.

\hskip1cm (h) Mostre que, para todo $\sigma>0$, existe $n$ tal que $l_n<\sigma$. 

\hskip1cm (i) Mostre que, para todo $n\geq 2$, $l_n=3l_{n-1}-l_{n-2}$. Conclua da\'i que, se existirem um real positivo $\sigma$ e inteiros positivos $p_0$ e $q_0$ tais que $l_0=p_0\sigma$ 
e $d_0=q_0\sigma$, ent\ao\ existem inteiros positivos $p_n$ tais que $l_n=p_n\sigma$.

\hskip1cm (j) Conclua que o lado e a diagonal do pent\'agono ABCDE s\ao\ incomensur\'aveis. 

\end{document}
