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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Terceira Lista}
\end{center}
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\noindent ({\bf 1}) Usando as f\'ormulas demonstradas em sala ou no livro-texto, calcule
${\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}+\frac{\cos n}{n}}{2^{1/n}+\frac{1}{n^3}}
}$.

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\noindent ({\bf 2}) (a) 
D\^e exemplo de uma sequ\^encia $(a_n)$ tal que $a_n>0$ para todo $n$, 
${\displaystyle \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=1}$ e $\lim a_n=+\infty$. 

(b) 
D\^e exemplo de uma sequ\^encia $(b_n)$ tal que $b_n>0$ para todo $n$, 
${\displaystyle \lim\frac{b_{n+1}}{b_n}=1}$ e $\lim b_n=10$. 

(c) 
D\^e exemplo de uma sequ\^encia $(c_n)$ tal que $c_n>0$ para todo $n$, 
${\displaystyle \lim\frac{c_{n+1}}{c_n}=1}$ e $\lim c_n=0$. 

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\noindent ({\bf 3}) (a) Mostre que ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n^2}}=1}$. 
\ \ (b)  Mostre que ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}(2+n^{1/n})^{1/n}=1}$.

Dica: Leia a sugest\ao\ do Exerc\'icio 17 da Se\cao\ 4.2 do livro-texto.
 
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\noindent ({\bf 4}) Mostre que ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n}=+\infty.}$

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\noindent ({\bf 5}) (a) Mostre que, se $a_{n+1}/a_n$ converge para um limite maior do que 1 ou se tende a infinito, ent\ao\ $\lim a_n=+\infty$.

(b) Mostre que ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n^2}}{n!}=+\infty.}$

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\noindent ({\bf 6}) (a) Mostre que, se $x_n\geq 0$ para todo $n$ e se $\lim x_n=0$, ent\ao\ 
$\lim\sqrt{x_n}=0$.

(b) Dado $L>0$, mostre que, para todo $x>L/4$, temos 
${\displaystyle |\sqrt{x}-\sqrt{L}|\leq \frac{2}{3\sqrt{L}}|x-L|}$. Dica: 
${\displaystyle a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}}$.

(c) Mostre que, se $x_n\geq 0$ para todo $n$ e se $\lim x_n=L$, $L>0$, ent\ao\ 
$\lim\sqrt{x_n}=\sqrt{L}$.

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\noindent ({\bf 7}) (a) Mostre que, se $\lim x_n=L$ e $L>1$, ent\ao\ $\lim (x_n)^n=+\infty$ e 
$\lim (x_n)^{1/n}=1$.

(b) Mostre que ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=+\infty}$ e ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=1}$.

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\noindent ({\bf 8}) (a) Mostre que s\ao\ convergentes as sequ\^encias $(a_n)$ e $(b_n)$, ${\displaystyle a_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}$ e ${\displaystyle b_n=\frac{1}{na_n}}$, $n\in \N$.

*(b) Tente calcular os limites das duas sequ\^encias do item anterior.

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\noindent ({\bf 9}) Decida se s\ao\ verdadeiras ou falsas as seguintes afirma\coes:

(a) Se a sequ\^encia $(a_n)$ \'e limitada e n\ao\ converge para $L$, ent\ao\ $(a_n)$ tem uma subsequ\^encia convergente cujo limite \'e diferente de $L$. 

(b) Se as sequ\^encias $(a_n)$ e $(b_n)$ s\ao\ de Cauchy, e se $b_n\neq 0$ para todo $n$, ent\ao\ $(a_n/b_n)$ \'e uma sequ\^encia de Cauchy.  

\end{document} 