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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Segunda Lista}
\end{center}

\vskip1cm

\noindent ({\bf 1}) Seja ${\displaystyle A=\left\{\frac{n+m}{n+m+1};\,n\in\N,\,m\in\N\right\}}$.
(a) Mostre que $\sup A=1$. \ \ \ (b) Mostre que $\inf A=2/3$.
 
\noindent (N\ao\ esque\c{c}am que nossa conven\cao\ \'e que $0\not\in\N=\{1,2,3,\cdots\}$.)
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\noindent({\bf 2}) Seja ${\displaystyle A=\left\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m};\,n\in\N,\,m\in\N\right\}}$.

\noindent
(a) Mostre que $\sup A=1\not\in A$. \ \ \ (b) Mostre que $\inf A=-1\not\in A$.

\vskip.8cm
\noindent({\bf 3}) (a) Dados $A$ e $B$ subconjuntos de $\R$ n\ao-vazios e limitados tais que $A\subseteq B$, mostre que 
$\sup A\leq\sup B$ e que $\inf A\geq \inf B$.

\noindent (b) D\^e exemplo de dois subconjuntos de $\R$ n\ao-vazios e limitados $A$ e $B$ tais que $A$ seja um subconjunto pr\'oprio de $B$ (ou seja, $A$ est\'a contido em $B$ mas \'e diferente de $B$) e temos: (i) $\sup A=\sup B$, (ii) $\inf A=\inf B$ e (iii) o supremo e o \'infimo de $B$ n\ao\ pertencem 
a $B$. 

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\noindent({\bf 4}) Dados $A$ e $B$ subconjuntos de $\R$ n\ao-vazios e limitados, defina 
\[A+B=\{a+b;\,a\in A,\, b\in B\}.
\] 
(a) Mostre que $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$. 
\\
(b) Mostre que $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$.

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\noindent({\bf 5}) Um {\em corte de Dedekind} \'e um par ordenado $(A,B)$ onde $A$ e $B$ s\ao\ subconjuntos n\ao-vazios de $\Q$ tais que $A$ n\ao\ possui 
m\'aximo, $A\cup B=\Q$ e, dados $x\in A$ e $y\in B$ quaisquer, tem-se $x<y$. Mostre que, para um corte de Dedekind $(A,B)$, vale $\sup A=\inf B$. 


\vskip.8cm 

\noindent({\bf 6}) Sejam $B\subset A$ conjuntos n\ao-vazios de n\'umeros reais. Suponha que, para cada $x\in A$, exista um $y\in B$ tal que $x\leq y$. Mostre que, nestas condi\coes, tem-se $\sup A=\sup B$. Enuncie e demonstre um resultado an\'alogo para $\inf$. 

\end{document}
