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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0315  - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real 
\\  IME-USP, 2$^\circ$ Semestre de 2013\\ Primeira Lista}
\end{center}
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\noindent ({\bf 1}) Mostre que, se n\ao\ for inteira, a raiz quadrada de um n\'umero natural ser\'a irracional.

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\noindent({\bf 2}) Dados $a$ e $b$ racionais, mostre que $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$ s\'o \'e racional se $a=b=0$. 

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\noindent({\bf 3}) Mostre que o logaritmo de 3 na base 2 \'e irracional.

\vskip.6cm
\noindent
({\bf 3'}) Mostre que existem $a$ racional e $b$ irracional tais que $a^b$ \'e racional.

\vskip.6cm
\noindent({\bf 4}) Mostre que existem $a$ racional e $b$ irracional tais que $a^b$ \'e irracional.
\\Dica: Calcule $(2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ e reflita sobre o significado do resultado.

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\noindent({\bf 5}) Mostre que existem $a$ e $b$ irracionais tais que $a^b$ \'e racional. 
\\Dica: Calcule $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ e reflita sobre o significado do resultado.

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\noindent({\bf 6})  Dados $a<b$ reais, encontre uma bije\cao\ do intervalo aberto $(a,b)$ em $\R$ que seja igual ao quociente de duas fun\coes\ polinomiais.


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\noindent({\bf 7}) Mostre que, se $A\cup B$ for infinito n\ao-enumer\'avel, ent\ao\ pelo menos um dos dois conjuntos, $A$ ou $B$, tamb\'em o ser\'a.

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\noindent({\bf 8}) Mostre que o conjunto $\{x\in\Q;\, x>0$ e $x^2>2\}$ n\ao\ tem m\'inimo, usando apenas que $\Q$ \'e um corpo ordenado arquimediano (ou seja, usando apenas as propriedades usuais da soma, do produto e das desigualdades e usando que, para todo $r\in\Q$, existe $n\in\N$ tal que $n>r$).


\end{document}