\documentclass{amsart}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\linespread{1.1}
\newcommand{\ao}{\~ao}
\newcommand{\cao}{\c c\ao}
\newcommand{\coes}{\c c\~oes}
\newcommand{\oes}{\~oes}
\newcommand{\ih}{\'{\i}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\textheight}{59.5pc}
\setlength{\baselineskip}{1pc}
\setlength{\parindent}{15mm}
\setlength{\parskip}{1pc}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.5cm}
\setlength{\topmargin}{-4.0pc}
\setlength{\topskip}{3pc}
\setlength{\unitlength}{.5cm}


\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\pagestyle{empty}



\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0315 - Introdu\cao\ \`a An\'alise Real - Turma 48} 

\centerline{\bf Prova Substitutiva - 2 de dezembro de 2013}

%\vskip0.8cm
\noindent
$\begin{matrix}
\hbox{Nome}:  \hbox{\underbar{\hskip10.5cm}}\hfill\cr
\hbox{N\'umero USP}: \hbox{\underbar{\hskip 9.4cm}}\hfill\cr
\hbox{Assinatura}: \hbox{\underbar{\hskip 9.8cm}}\hfill\cr
\end{matrix}$
\hfill{
$\begin{matrix}\hbox{\hfill\vbox{\tabskip=0pt  \offinterlineskip
\def\tablerule{\noalign{\hrule}}
\halign to96pt {\strut #& \vrule #& \hfil\tabskip=1em plus2em 
#& \vrule #& #& \vrule # \tabskip=0pt\cr\tablerule
&&1 &&   &\cr\tablerule
&&2 &&   &\cr\tablerule
&&3 &&   &\cr\tablerule
&&4 &&   &\cr\tablerule

&&   \ Total&&    &\cr\tablerule}}}\end{matrix}$}

\begin{center}
Cada quest\ao\ em branco vale 0,25.
\end{center}

\noindent
{\bf Quest\ao\ 1:} Defina a no\cao, usada pelos gregos antigos, de incomensurabilidade de dois segmentos e relacione essa no\cao\ com o moderno conceito de n\'umero irracional. 

\newpage
\noindent
{\bf Quest\ao\ 2:} Dados $A$ e $B$ dois subconjuntos de $\R$, definimos $A\cdot B$ como o conjunto de todos os poss\'iveis produtos de um elemento de $A$ por um elemento de $B$, isto \'e, $A\cdot B=\{ab;\, a\in A, b\in B\}$. 

\noindent
Supondo que $A$ e $B$ s\ao\ limitados e que seus elementos s\ao\ todos maiores do que $1/3$, mostre que \[\sup(A\cdot B)=\sup A \cdot \sup B.\]

\newpage
\noindent
{\bf Quest\ao\ 3:} (a) Mostre que a s\'erie ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{999^n}{3^{n^{2}}}}$ converge. 
\vskip.1cm

\noindent
(b) Mostre que, para todo $x\in\R$, a s\'erie ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}$ converge absolutamente. 

\newpage
\noindent

{\bf Quest\ao\ 4:} (a) Mostre que a sequ\^encia ${\displaystyle x_n=\frac{n^n}{e^nn!}}$, $n\in\N$, \'e decrescente. Sugest\ao: calcule $x_{n+1}/x_n$.

(b) Mostre que $\lim x_n=0$. Sugest\ao: use a segunda das desigualdades dadas no ``Fato'' abaixo.

(c) Mostre que ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn^n}{e^nn!}}$ converge. Sugest\ao: use o (a) e o (b). 

(d) Mostre que ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{e^nn!}}$ diverge. Sugest\ao: use a primeira desigualdade do ``Fato''.  


\vskip.4cm

{\Large {\tt FATO}}:\ \ \  Existem constantes positivas $M$ e $N$ tais que ${\displaystyle M\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{n^n}{e^nn!}<N\frac{1}{\sqrt{n}}}$, para todo 
$n\in\N$. 


\end{document}
