Segunda Lista de Lógica Fuzzy - B

Cursos de Verão IME-USP - 2002

1. Represente num gráfico os seguintes subconjuntos fuzzy definidos no universo $U=[0,3]$.

$$A(x) = \left\{ \begin{array}[h]{lcl} x & \text{ se } & 0\leq x\le... ...ext{ se } & 1\leq x\leq 2 0 & \text{ se } & 2\leq x\leq 3 \end{array}\right.$$ (1)

$$B(x) = \left\{ \begin{array}[h]{lcl} 0 & \text{ se } & 0\leq x\le... ...t{ se } & 1\leq x\leq 2 3-x & \text{ se } & 2\leq x\leq 3 \end{array}\right.$$ (2)

$$C(x)=0.75$$ (3)

Agora dê as fórmulas e represente graficamente os seguintes conjuntos fuzzy:

$$A \vee B, \hspace{1cm} A \wedge B$$ (4)

$$(A \vee B)^{\prime}, \hspace{1cm} A^\prime \wedge B^\prime$$ (5)

$$(A \vee C) \wedge B^\prime \vee (C \vee B)^\prime$$ (6)

2. Seja $L_{1/2}=\{ 0, 1/2, 1\}$ com as duas operaçôes $\vee$ e $\wedge$ definidas como $a\vee b= \max (a,b)$ e $a\wedge b= \min (a,b)$. Complete a tabela dos operadores:

$\vee$	0	$1/2$	$1$
0
$1/2$
$1$

$\wedge$	0	$1/2$	$1$
0
$1/2$
$1$

Verifique que este conjunto é um reticulado.

Discuta um pouco a diferença dos conjuntos fuzzy com valores em $[0,1]$ e em $L_{1/2}$.

3. Considere a função $f:[0,2] \to [1,5]$ dada por $f(x)=1+x^2$. Seja $A:[0,2] \to [0,1]$ o subconjunto fuzzy dado por

$$A(x) = \left\{ \begin{array}[h]{lcl} x & \text{ se } & 0\leq x\leq 1 2-x& \text{ se } & 1\leq x\leq 2 \end{array}\right.$$ (7)

Usando o princípio da extensão ache $\hat{f}(A):[1,5] \to [0,1]$.

4. Sejam $A$ e $B$ conjuntos fuzzy e $\alpha \in [0,1]$, então vale

$$[(A\vee B)]^{\alpha} = [A]^\alpha \cup [B]^{\alpha}$$

e

$$[A\wedge B]^{\alpha} = [A]^{\alpha} \cap [B]^{\alpha}$$

5. Seja o conjunto universo dado por $U=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 2\}=$ círculo de raio 2. Verifique que a função definida em U $A(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}$ define um conjunto fuzzy em $U$, e ache os $\alpha$-níveis: $[A]^{1/2}$ e $[A]^{1}$.