Segunda Lista de Lógica Fuzzy

Cursos de Verão IME-USP - 2002

1. Seja $U$ um conjunto e $\mathcal{P}(U)$ o conjunto das partes de $U$. Mostre em detalhe que $\mathcal{P}(U)$ é uma álgebra de Boole.

2. Seja $\mathbb{N}$ o conjunto dos números naturais (inteiros positivos). Seja $R$ a relação: $mRn$ se $n$ é um múltiplo de $m$. Mostre que com esta relação $\mathbb{N}$ é um reticulado distributivo.

3. Seja $f: U \to V$ uma função entre dois conjuntos. Mostre que se $f$ for sobrejetora então $ff^{-1}: \mathcal{P}(V) \to \mathcal{P}(V)$ é a identidade e que se $f$ for bijetora então $f^{-1}f: \mathcal{P}(U) \to \mathcal{P}(U)$ é a identidade.

4. Sejam $A$ e $B$ conjuntos nebulosos e $\alpha \in [0,1]$, então vale

$$(A\vee B)_{\alpha} = A_{\alpha} \cup B_{\alpha}$$

e

$$(A\wedge B)_{\alpha} = A_{\alpha} \cap B_{\alpha}$$

5. Seja $A$ um conjunto nebuloso de $U$ e $A_\alpha$ o $\alpha$-corte de A.

(a) Mostre que para todo $x\in U$

$$A(x)= \bigvee_{\alpha \in [0,1]}\alpha \chi_{A_{\alpha}(x)}$$

6. Suponha que $\{ B_{\alpha}\}$ é uma família de subconjuntos de $U$ que satisfaz para todo $x\in U$:

$$A(x)= \bigvee_{\alpha \in [0,1]}\alpha \chi_{B_{\alpha}(x)}.$$

Mostre que para todo $\alpha$ vale $B_{\alpha} \subset A_{\alpha}$.

7. Seja $C$ um reticulado completo e $\mathcal{P}(U)$ o conjunto das partes de um conjunto $U$. Escolha um subconjunto qualquer $D$ de $C$ e seja $A: U \to C$. Prove o seguinte:

(a) Se $\alpha \leq \beta$ então $A_\alpha \supseteq A_\beta$.

(b) $\bigcap_{\alpha \in D}A_\alpha \subseteq A_{\wedge D}$

8. Seja $A : \mathbb{R} \to [0,1]$ um conjunto nebuloso de $\mathbb{R}$ e $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função definidos abaixo:

$$A(x) = \chi_{\{ 0 \}}(x) + ^{-\frac{1}{x}}\chi_{(0,\infty)}(x)$$

$$f(x) = x\chi_{(0,1)}(x) + \chi_{[0,1)}(x)$$

Mostre que $\hat{f}(A)_1 \neq f(A_1)$.