%% LyX 2.2.3 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[oneside,brazil]{amsart}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{geometry}
\geometry{verbose,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\numberwithin{equation}{section}
\numberwithin{figure}{section}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
  \theoremstyle{plain}
  \newtheorem{prop}[thm]{\protect\propositionname}
  \theoremstyle{plain}
  \newtheorem{cor}[thm]{\protect\corollaryname}

\makeatother

\usepackage{babel}
  \providecommand{\corollaryname}{Corolário}
  \providecommand{\propositionname}{Proposição}
\providecommand{\theoremname}{Teorema}

\begin{document}

\title{Exercício para entregar - MAP 0217 / MAT 0311}

\author{Prof: Pedro T. P. Lopes www.ime.usp.br/$\sim$pplopes/calculov2019}

\maketitle
Vimos em sala de aula o importante Teorema da Aplicação Aberta.
\begin{thm}
(Teorema da Aplicação Aberta) Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$
um aberto e $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$.
Seja $a\in\Omega$ tal que $f'\left(a\right):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$
é um isomorfismo. Logo existe $r>0$ tal que $B_{r}\left(a\right)\subset\Omega$,
$f\left(B_{r}\left(a\right)\right)$ é um aberto de $\mathbb{R}^{n}$,
$f:B_{r}\left(a\right)\to f\left(B_{r}\left(a\right)\right)$ é um
difeomorfismo e $\left(f^{-1}\right)'\left(f\left(a\right)\right)=\left(f'\left(a\right)\right)^{-1}$.
\end{thm}

Acima estamos usando $B_{r}\left(a\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n};\,\left\Vert x-a\right\Vert <r\right\} $.

Para provar esse teorema, primeiro provamos o seguinte resultado: 
\begin{prop}
\label{prop:(Diferenciabilidade-do-Homeomorf}(Diferenciabilidade
do Homeomorfismo Inverso) Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ um aberto
e $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$. Suponha
que $f\left(\Omega\right)\subset\mathbb{R}^{n}$ seja um aberto e
que $f:\Omega\to f\left(\Omega\right)$ seja um homeomorfismo. Se
$f'\left(a\right)$ é um isomorfismo para algum $a\in\Omega$, então
$f^{-1}$ é diferenciável em $f\left(a\right)$ e $\left(f^{-1}\right)'\left(f\left(a\right)\right)=\left(f'\left(a\right)\right)^{-1}$.
\end{prop}

A seguir, provamos a seguinte proposição:
\begin{prop}
\label{prop:Seja--um}Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ um aberto
e $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ uma função de classe $C^{1}$. Seja
$a\in\Omega$ tal que $f'\left(a\right):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$
é um isomorfismo. Logo existe $r>0$ tal que $B_{r}\left(a\right)\subset\Omega$,
$f\left(B_{r}\left(a\right)\right)$ é um aberto e $f:B_{r}\left(a\right)\to f\left(B_{r}\left(a\right)\right)$
é um homeomorfismo.
\end{prop}

Vimos, por fim, que o Teorema da Aplicação Aberta segue facilmente
das Proposições \ref{prop:(Diferenciabilidade-do-Homeomorf} e \ref{prop:Seja--um}.

\vspace{0,1cm}

\textbf{O objetivo do exercício proposto a seguir é demonstrar a Proposição
3 de uma maneira diferente àquela feita em sala de aula.}

\vspace{0,1cm}

De fato, a demonstração que faremos é mais conhecida e pode ser generalizada
em outros contextos. Portanto, é interessante estudá-la.

\vspace{0,2cm}

\textbf{\emph{Item 1.}}

Sejam $a\in\mathbb{R}^{n}$, $r>0$ e $f:\overline{B_{r}\left(a\right)}\to\mathbb{R}^{n}$
uma função definida em $\overline{B_{r}\left(a\right)}=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n};\,\left\Vert x-a\right\Vert \le r\right\} $.
Suponha que exista $\lambda\in\left]0,1\right[$ tal que:

i) $\left\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\Vert \le\lambda\left\Vert x-y\right\Vert $,
$\forall x,y\in\overline{B_{r}\left(a\right)}$.

ii) $\left\Vert f\left(a\right)-a\right\Vert \le\left(1-\lambda\right)r$.

Mostre que $f\left(\overline{B_{r}\left(a\right)}\right)\subset\overline{B_{r}\left(a\right)}$
e conclua, usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que existe um
único ponto fixo $\overline{x}\in\overline{B_{r}\left(a\right)}$
de $f$, ou seja, tal que $f\left(\overline{x}\right)=\overline{x}$.

\vspace{0,2 cm}

\emph{Para os itens abaixo, considere $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$
um aberto e $\varphi:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ uma contração, ou seja,
uma função para a qual existe $\lambda\in\left]0,1\right[$ tal que
$\left\Vert \varphi\left(x\right)-\varphi\left(y\right)\right\Vert \le\lambda\left\Vert x-y\right\Vert $,
para todo $x,y\in\Omega$. Seja $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ dada
por $f\left(x\right)=x+\varphi\left(x\right)$.}

\vspace{0,2 cm}

\textbf{\emph{Item 2.}}

Usando que $\left\Vert a+b\right\Vert \ge\left\Vert a\right\Vert -\left\Vert b\right\Vert $,
mostre que 
\[
\left\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\Vert \ge\left(1-\lambda\right)\left\Vert x-y\right\Vert ,\,\forall x,y\in\Omega.
\]

Conclua que $f$ é injetora e, portanto, que $f:\Omega\to f\left(\Omega\right)$
é uma bijeção.

\vspace{0,2 cm}

\textbf{\emph{Item 3.}}

Usando o item anterior, conclua que $f^{-1}:f\left(\Omega\right)\to\Omega$
é Lipschitz e, portanto, contínua. Assim, $f:\Omega\to f\left(\Omega\right)$
é um homeomorfismo.

\vspace{0,2 cm}

\textbf{\emph{Item 4.}}

Seja $a\in\Omega$ e $b=f\left(a\right)$. Seja $r>0$ tal que $\overline{B_{r}\left(a\right)}\subset\Omega$
e $z\in\mathbb{R}^{n}$ tal que $\left\Vert z-b\right\Vert <s:=\left(1-\lambda\right)r$.
Defina a função $\xi:\overline{B_{r}\left(a\right)}\to\mathbb{R}^{n}$
por $\xi\left(x\right)=z-\varphi\left(x\right)$. 

i) Mostre que $\left\Vert \xi\left(x\right)-\xi\left(y\right)\right\Vert \le\lambda\left\Vert x-y\right\Vert $,
para todo $x,y\in\overline{B_{r}\left(a\right)}$.

ii) Mostre que $\left\Vert \xi\left(a\right)-a\right\Vert \le\left(1-\lambda\right)r$.

iii) Conclua que existe um ponto fixo de $\xi$ e, portanto, existe
$w\in\overline{B_{r}\left(a\right)}$ tal que $f\left(w\right)=z$. 

\vspace{0,2 cm}

\textbf{\emph{Item 5.}}

Juntando os Itens 2, 3 e 4, prove o seguinte teorema:
\begin{thm}
(Teorema da Perturbação da Unidade) Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$
um aberto e $\varphi:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ uma contração, ou seja,
uma função para a qual existe $\lambda\in\left]0,1\right[$ tal que
$\left\Vert \varphi\left(x\right)-\varphi\left(y\right)\right\Vert \le\lambda\left\Vert x-y\right\Vert $,
para todo $x,y\in\Omega$. Seja $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ dada
por $f\left(x\right)=x+\varphi\left(x\right)$. Logo $f:\Omega\to f\left(\Omega\right)$
é um homeomorfismo e $f\left(\Omega\right)$ é um aberto de $\mathbb{R}^{n}$.
\end{thm}

\vspace{0,2 cm}

\textbf{\emph{Item 6.}}

Prove o seguinte Corolário do Teorema da Perturbação da Unidade.
\begin{cor}
Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ um aberto e $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$
uma função definida por $f\left(x\right)=T\left(x\right)+\varphi\left(x\right)$,
em que

i) $T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ é uma transformação linear
bijetora.

ii) Existe $\lambda<\frac{1}{\left\Vert T^{-1}\right\Vert }$ tal
que $\left\Vert \varphi\left(x\right)-\varphi\left(y\right)\right\Vert \le\lambda\left\Vert x-y\right\Vert $
para todo $x,y\in\Omega$.

Logo $f:\Omega\to f\left(\Omega\right)$ é um homeomorfismo e $f\left(\Omega\right)$
é um aberto.
\end{cor}

(Dica: Comece considerando a função $T^{-1}\circ f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$
e mostre que ela satisfaz as hipóteses do Teorema da Perturbação da
Unidade). 

\vspace{0,2 cm}

\textbf{\emph{Item 7.}}

Seja $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ um aberto e $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$
uma função de classe $C^{1}$. Seja $a\in\Omega$ tal que $f'\left(a\right):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$
é um isomorfismo. Mostre que existe $r>0$ tal que $B_{r}\left(a\right)\subset\Omega$,
$f\left(B_{r}\left(a\right)\right)$ é aberto e $f:B_{r}\left(a\right)\to f\left(B_{r}\left(a\right)\right)$
é um homeomorfismo.

(Dica: Defina a função $s\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-f'\left(a\right)\left(x-a\right)$
e mostre que $s\left(a\right)=0$ e $s'\left(a\right)=0$. Observe
também que $f\left(x\right)=f'\left(a\right)\left(x\right)+\left(f\left(a\right)-f'\left(a\right)\left(a\right)+s\left(x\right)\right)$
e aplique o Corolário anterior, verificando que suas condições são
válidas para $r>0$ suficientemente pequeno).
\end{document}
