A CATENÁRIA

O objetivo deste texto é o de mostrar como determinar a forma exata da curva assumida por uma corda flexível de densidade uniforme que é suspensa entre dois pontos. Essa curva é chamada Catenária, da palavra latina catena, para cadeia.

• Escolha um sistema de coordenadas cartesiano, de modo que o eixo dos $y$ passe pelo ponto $P_0$, o mais baixo da corda, e seja ortogonal à curva nesse ponto. Note que a curva é simétrica em relação ao eixo dos $y$ assim escolhido.
• Tome um outro ponto $P$ qualquer da curva e denote por $S$ o comprimento da curva, de $P_0 = (0, k)$ a $P = (x, y)$. Seja a densidade linear (peso/unidade de comprimento) da corda.

A parte da corda entre $P_0$ e $P$ está em equilíbrio estático sob a ação de três forças:

(i)

a tensão $T_0$ em $P_0$;

(ii)

a tensão $T$ em $P$, que atua na direção da tangente, devido à flexibilidade da corda;

(iii)

o peso da corda: .

Seja o ângulo determinado pela reta tangente à curva em $P$ e o eixo dos $x$. Como a corda está em equilíbrio estático temos:

$$T \mbox{ sen\,}\theta = \omega_0 \cdot S; \,\,\,\,\,\,\, T \cos \theta = T_0.$$

Portanto,

Chamemos de $f$ a função que queremos achar (cujo gráfico é a catenária). Vamos supor que $f$ é uma função par, de classe Temos:

$$f'(x)= \mbox{ tg\,}\theta = \frac{\omega_0 \cdot S}{T_0}.$$

Note que, tanto $S$ quanto $\theta$ dependem de $x$. Por isso vamos escrever:

$$f'(x)= \frac{\omega_0}{T_0}\cdot S(x).$$ (1)

Aprenderemos ainda neste semestre que o comprimento do gráfico de uma função $y =f(t)$ para é dado por:

$$L= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(t))^2 } dt.$$

Assim, o comprimento do arco, de $P_0$ até $P$ é

$$S(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + (f'(t))^2 } dt,$$

e, substituindo na equação (1) obtemos:

$$f'(x) = \frac{\omega_0}{T_0}\cdot \int_{0}^{x} \sqrt{1+(f'(t))^2 } dt.$$

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada e integral, temos:

$$f''(x) = \frac{\omega_0}{T_0}\cdot \sqrt{1+(f'(x))^2}.$$ (2)

Obtivemos então uma equação diferencial cuja solução é a função que procuramos. Vamos ver como resolvê-la. Para simplificar a notação, chamemos e A equação (2) acima fica:

$$g'(x) = C \sqrt{1 + (g(x))^2} \Leftrightarrow \frac{g'(x)}{ \sqrt{1 + (g(x))^2}} = C.$$

Portanto, por primitivação, temos que Como temos Portanto, a função $g$ é a função que satisfaz:

$$\ln[g(x) + \sqrt{1+ (g(x))^2}] = Cx \Leftrightarrow g(x) + \sqrt{1+ (g(x))^2} = e^{Cx}.$$

Lembrando que $g = f'$ e que $f$ é uma função par, concluímos que $g$ é uma função ímpar (por que?). Assim obtemos:

$$g(-x) + \sqrt{1+ (g(-x))^2} = e^{-Cx} \Leftrightarrow -g(x) + \sqrt{1+ (g(x))^2} = e^{-Cx}.$$

Subtraindo termo a termo da equação temos:

$$2g(x) = e^{Cx} - e^{-Cx} = 2\mbox{ senh\,}(Cx),$$

ou seja,

$$f'(x) = \mbox{ senh\,}(Cx),$$

o que implica que

$$f(x) = \frac{1}{C}\cosh(Cx) + k.$$

A expressão dada por é chamada equação da catenária.

A constante $k$ que aparece no final só depende da escolha feita na colocação do eixo dos $x$.

Um pouco mais sobre as funções hiperbólicas.

Definimos

$$\mbox{ senh\,}t = \frac{1}{2}(e^t - e^{-t}) \,\,\,\,\, \mbox { e } \,\,\,\, \cosh t = \frac{1}{2}(e^t + e^{-t})$$

É fácil verificar que

1. a função seno-hiperbólico é ímpar e a função cosseno-hiperbólico é par;
2. 
3. 
4. o par satisfaz a equação da hipérbole (daí os nomes!)

Com as informações acima e um pouco de cálculo integral, conseguimos calcular o comprimento de um fio que fica apoiado em dois postes. Supondo que o sistema de coordenadas é escolhido como anteriormente, se o Poste 1 fica sobre a reta de equação $x=a$ e o Poste 2 fica sobre a reta $x=b$ então o comprimento do fio é:

$$\begin{eqnarray*} L & = & \int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + [(\frac{1}{C}\cosh(Cx) + k)']^... ...\,}(Ca)) \,\,\,\, \mbox{(pelo Teorema Fundamental do Cálculo).} \end{eqnarray*}$$