Roteiro para estudos à distância

Sinto muito não poder dar essas aulas. É um tema que é muito legal e útil.

Peço que leiam o capítulo 3 sobre Modelos ARIMA no excelente livro de Shumway e Stoffer em

https://www.stat.pitt.edu/stoffer/tsa4/tsa4.pdf

Modelos AR – Auto Regressivos

1. Exemplo 3.1, apresentam as propriedades do processo AR(1).

2. No ex 3.2, rodem no R os exemplos de AR(1) simulados com phi=0,9 e phi=-0,9.

3. Se quiserem podem pular os exemplos 3.3 e 3.4, em que é apresentado um AR(1) com phi >1, que é explosivo, e pode ser escrito como um modelo com x_t em função de x_t+1.

Modelos MA – Médias móveis (Moving Average)

Vamos ver os modelos médias móveis de ordem q, denotados como MA(q), que significa moving average. Esse tipo de modelo tem yt em função de erros a_t, a_t-1, a_t-2, …, a_t-q, sendo at ~ RB (ruido branco). Ele é apresentado na Definição 3.3

No livro do Morettin e Toloi, o sinal dos parâmetros dos erros é negativo.

Isso é feito para escrever usando o operador defasagem B, como y_t= (1-q₁B - … -q_qB)a_t.

E obter o polinômio (1-q₁B - … -q_qB), parecido com o do modelo AR (no AR1 tínhamos (1-fB)yt=at).

4. Para o modelo MA(1) y_t= a_{t +} q a_t-1., at ~RB_., calculem a média, variância, covariância de yt. O modelo é fracamente estacionário?

Invertibilidade

Para o processo MA(q), vamos exigir que as raízes de (1-q₁B) estejam fora do círculo unitário para que o processo seja invertível. Invertível quer dizer que vamos escrever y_t em função de y_t-1, y_t-2,… e a_t.

5. No exemplo 3.6, temos dois modelos MA(1).

Modelo 1: x_t = w_t +(1/5) w_t-1, com w_t ~ iid N(0, 25)

Modelo 2: x_t = v_t + 5 v_t-1, com v_t ~ iid N(0, 1)

Verifique que para esses 2 modelos x_t tem mesma média, variância e covariância. Não dá para distinguir os 2 processos. Depois vamos ver que ambos teriam mesma verossimilhança e teríamos modelo não identificável (na hora de estimar podemos obter um ou outro).

Vamos ficar com o processo que for invertível, ou seja, processo em que xt pode ser escrito em função do passado dele, o que ocorre só para o modelo 1,

Função de autocorrelação

Quando pegarmos uma série temporal com cara de estacionária, faremos o gráfico da função de autocorrelação amostral.

Pelo exercício do item 4, vamos perceber que o processo MA(q) tem autocorrelações nulas nas defasagens q+1, q+2,…. Então para uma série temporal, basta escolher q correspondente à última autocorrelação significativa.

Para o processo AR(p), sabemos que a função de autocorrelação vai caindo para zero. Então como escolher p?

Vamos aprender a função de correlação parcial (FACP), corresponde a ajustar AR(1) e estimar o f₁, estimar o f₂ do AR(2), …. . A FACP é cada estimativa de q. Quando verificamos que a facp fica nula é porque o modelo ideial é AR(p) e estou olhando para a facp para p+1, p+2,...

Para a próxima aula…

Vamos falar sobre o modelo ARMA(p,q) que está na definição 3.5 do Shumway e Stoffer e vamos ter que conseguir escrever a verossimilhança condicional do modelo.