DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

Prof. Adilson Simonis
 

Vimos na aula anterior a definição clássica de probabilidade obtida a partir da hipótese que todos os elementos do espaço amostral S são equiprováveis. Desta maneira, o cálculo da probabilidade de um evento A é dada por:

 
P ( A ) =  número de casos favoráveis ao evento A  
                número de casos possíveis

Gostaríamos agora de estender a definição de probabilidade para espaços não equiprováveis. Isto pode ser feito a partir da definição clássica.

Por exemplo, para simular o lançamento de uma moeda com probabilidade de sair cara igual a 1 / 3 , podemos lançar um dado e dizer que cara corresponde às faces 1 e 2, enquanto que coroa é associada às faces 3, 4, 5 e 6.

Poderíamos também utilizar uma roleta, lançar um dado diversas vezes e assim por diante. Essa idéia permite então apresentar uma definição mais geral de probabilidade.

Chamamos de probabilidade, em um espaço amostral S finito, uma função que associa a qualquer ponto s Î S um número compreendido entre 0 e 1 com a propriedade que

P ( s ) = 1.
 

Observe que a situação equiprovável da definição clássica aparece quando escolhemos P ( s ) = 1 / #S , onde #S é o cardinal do espaço amostral S, ou seja, #S é o número de pontos de S.

Vamos agora considerar uma importante classe de experimentos aleatórios conhecidos como ensaios de Bernoulli.

Experimentos aleatórios realizados de maneira independente, com somente dois resultados possíveis, SUCESSO ou FRACASSO, e tais que a probabilidade da ocorrência do sucesso permanece constante , são ditos ensaios de Bernoulli.

O lançamento de uma moeda n vezes é um exemplo típico dessa situação.

Neste caso podemos associar o resultado CARA ( c ) ao sucesso e COROA ( k ) ao fracasso.

A definição de probabilidade apresentada aqui nos permite considerar situações em que a probabilidade de sucesso é p e de fracasso 1- p, para qualquer p compreendido entre 0 e 1.

Por exemplo, lançe uma moeda três vezes com probabilidade p de sair cara. Qual a chance de ocorrer exatamente duas coroas neste ensaio de Bernoulli ?

Pela independência dos lançamentos temos que o sucesso ( sair cara ) pode ocorrer na primeira posição com probabilidade

p ( 1- p ) ( 1 - p ) =  p ( 1 - p )²

Portanto a probabilidade que procuramos é dada por :  3 p ( 1 - p )² .

Vamos definir agora o conceito de VARIÁVEL ALEATÓRIA.

Definição: Dado um experimento aleatório com espaço amostral S, uma variável aleatória ( v. a. ) é uma função que associa a cada elemento amostral um número real. Denotaremos as variáveis aleatórias ( v. á's. ) por X, Y, Z, etc.

No experimento do lançamento de três moedas podemos definir a v. a. X = número de caras, e temos: X ( ccc ) = 3, X ( ckk ) = 1 , X ( kkk ) = 0 e assim por diante, onde c = cara e k = coroa. Observe que eventos no espaço amostral podem ser definidos pelas v. á's. Por exemplo { X = 1 } é o evento correspondente a sair exatamente uma cara e é igual a: {ckk, kck, kkc}

A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é a função P ( X = x ).

As expressões { X = x } definem eventos no espaço amostral S e portanto valem as propriedades definidas na aula anterior.

Por exemplo, sejam as v. á's.

X = número de caras no lançamento de três moedas e

Y = número de caras no primeiro lançamento,

ambas definidas no espaço S.

Qual a probabilidade do primeiro lançamento ser cara, dado que o número total de caras é dois ?

Queremos calcular  P ( Y = 1 / X = 2 ).

Aplicando a definição de probabilidade condicional obtemos 2 / 3 para qualquer 0 < p < 1.

As variáveis aleatórias X e Y são independentes, como antes, quando os eventos

{ X= x } e { Y = y }  forem independentes para todo x e y, isto é, se

P ( X = x, Y = y ) =  P ( X = x ) P ( Y = y )     "  x, y.

Vamos definir agora valor esperado de uma v. a.

Definição: O valor esperado  ( ou média ou esperança matemática )
de uma v. a. é a soma dos produtos dos valores assumidos pela variável pelas respectivas probabilidades da variável assumir tais valores.

Assim, se X for uma v. a. que assume valores  x₁, x₂, ..., x_n , então valor esperado de X, denotado por E ( X ) é definido por
E ( X ) = x_i P ( X = x_i ).

 
Qual o número médio de caras quando lançamos uma moeda três vezes?

X = número de caras

X Î { 0, 1, 2, 3 }

Distribuição de probabilidade de X:

P ( X = 0 ) = ( 1 - p )³

P ( X = 1 ) = 3p ( 1 - p )²

P ( X = 2 ) = 3p² ( 1 - p )

P ( X = 3 ) = p³

 
Portanto, a esperança de X é dada por :
E ( X ) = 3p ( 1 - p )²+6p² ( 1 - p ) + 3p³ = 3p - 6p² + 3p³ + 6p² - 6p³ + 3p³ = 3p

Quando p = 1/2 ( moeda honesta ) temos  E ( X ) = 1,5.

O valor esperado de uma v.a. satisfaz as propriedades :

E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )

E ( a X ) = a E ( X ) e

E ( a + X ) = a + E ( X ) para a constante.

Definição : Dada uma v.a. X, a variância de X é dada por :

VAR ( X ) = E [ X - E ( X ) ]²

 
Pode-se mostrar que  VAR ( X ) = E ( X² ) - [ E ( X )]²

Exemplo : X = número de caras em três lançamentos de uma moeda. Então

E ( X² ) = 3p ( 1 - p )² +12p² ( 1 - p ) + 9p³ = 3p - 6p² + 3p³ + 12p² - 12p³ + 9p³ = 3p + 6p²

Portanto  VAR ( X ) = 3p + 6p² - 9p² =  3p - 3p² = 3p(1 - p )

Quando a moeda é honesta,  VAR ( X ) = 3 / 4.

Vamos contar quantos sucessos ocorrem em n ensaios de Bernoulli.

X = X₁ + ... + X_n

Quais os valores possíveis da v.a. X ?

Resposta:  X Î { 0, 1, ..., n }

Qual a distribuição de probabilidade de X ?

P ( X = 0 ) = ( 1 - p )ⁿ

P ( X = 1 ) = n p ( 1 - p )^n-1

P ( X = k ) =  p^k ( 1 - p )^n-k

P ( X = n ) = pⁿ

Qual a esperança de X ?

A esperança de cada X_i é dada por :  E ( X_i ) = p

Portanto, pela propriedade da esperança, E ( X ) = n p.

Qual a variância de X ?

E fácil ver que vale  n p ( 1 - p ).

Dizemos que a variável X ( número de sucessos em n ensaios de Bernoulli ) tem distribuição Binomial de parâmetro n e p.

Denotamos por  X ~ b ( n , p ).

Observação : Para construir a distribuição de probabilidade da b ( n , p ) usando o MINITAB basta usar o comando PDF.

Por exemplo, para n=7 e p=0,3 temos a seguinte saída do comando PDF :

PDF;

BINOMIAL 7 .3
 

BINOMIAL WITH N=7 P=0.300000

K P ( X=k )

0 0.0824

1 0.2471

2 0.3177
...

7 0.0002