Cálculo Numérico para Geociências 2009 (MAP0125)

Prof. Eduardo Colli

Página atualizada em 29/07/09.


REC:

Alunos de recuperação:
1. Clóvis Aparecido de Camargo Jr. (5,5) - tirou 8,0 -  Nota final: 6,3
2. Élio Bento Goulart (atenção: seu nome não consta na lista do Jupiter!) (7,0)
3. Elisa Levatti Alexandre (6,5) - tirou 8,7 - Nota final: 6,1
4. Eraldo Cordeiro Barros Filho (6,4) - não compareceu - Nota final: 4,6
5. Felipe Antonialli (6,0) - tirou 6,0 - Nota final: 5,0
6. Gabriela Salomão Martins (7,0) - tirou 5,0 - Nota final: 4,0
7. Ingo Rinaldelli (6,2) - não compareceu - Nota final: 3,8
8. Marcel Trabulsi (7,0) - tirou 7,0 - Nota final: 5,0
9. Rafaela Machado Gengo (6,2) - tirou 7,9 - Nota final: 5,9
10. Rodrigo Felipe Soares (6,1) - tirou 7,4 - Nota final: 5,7
11. Tiago Dias Provenzano (6,3) - não compareceu - Nota final: 3,7


Quadro de notas:

Sit. M P1 P2 Sub A 02/03/09 09/03/09 23/03/09 26/03/09 07/05/09 11/05/09 EP1/I EP1/II 04/06/09
André Diego Barros de Azevedo A 6,3 6,0 5,7
7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
André Vinicius Maion A 5,6 5,0 4,5
8,9 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Augusto Nunes Pellegrino A 6,8 9,3 4,2
6,7 1 1 1 1 1 1 0 0 0
Benedito Ubiratã da Silva F 0,0


0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Bruno Maurício Batista Albuquerque A 9,0 9,5 7,4 8,8 8,4 1 1 1 1 0,5 1 1 1 0
Bruno Pereira de Fazio A 7,7 3,5 8,4 9 3,4 1 1 0 1 0 0 0 0 0
Caio Carduz Guimarães A 7,0 4,3 3,8 9,5 7,3 1 1 0,5 1 1 0,5 1 0 0,5
Caio Christofolletti A 8,5 9,0 8,3
7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Caio Ribeiro de Mello A 6,9 5,9 6,8
8,9 1 1 1 1 1 1 1 0 1
Calebe Simões Santos A 6,0 5,0 7,0
5,6 1 0 1 1 0 1 0 0 1
Camila Duelis Viana A 5,5 7,0 1,6
10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Cintia Sanae Duarte Murakami A 5,0 4,5 3,3 5,6 4,5 1 0 0 1 1 1 0 0 0
Clóvis Aparecido de Camargo Junior
4,5 5,0 2,0 3,3 5,6 1 0 1 1 1 0 0 0 1
Cristiano Padalino Galeazzi A 6,7 4,0 4,0 9,4 6,7 1 1 0 1 1 1 0 0 1
Dailson José Bertassoli Junior A 6,6 4,8 7,2
8,9 1 1 1 1 1 1 1 0 1
Daniel Ortega da Cruz A 7,6 9,0 7,6
4,5 1 1 1 1 0 0 0 0 0
Daniel Valdir Santiago A 5,2 6,5 3,5
5,6 0 1 1 1 0 1 0 0 1
Eduardo Henrique de Moraes Takafuji A 6,2 6,5 4,4
8,9 1 1 1 0 1 1 1 1 1
Élio B. Goulart (não consta no Jupiter)
3,0 1,0 0,5 2,4 7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Elisa Levatti Alexandre
3,5 0,0 1,7 4,5 5,0 1 1 0 1 1 0,5 0 0 0
Enrico Vial Scacchetti A 5,6 5,5 5,1
6,7 1 1 1 1 1 0 0 0 1
Eraldo Cordeiro Barros Filho
4,6 4,7
3,4 6,7 1 1 1 1 1 1 0 0 0
Fabio Maximiano F 0,3


1,2 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Felipe Antonialli
4,0 2,3 2,5 3,5 7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Felipe Tomas Afonso Augusto A 5,6 5,0 2,5 5,5 6,7 1 1 1 1 1 1 0 0 0
Fernando Valarelli Menezes R 1,4 0,0 1,1
4,5 0 1 0 0 1 1 0 0 1
Flávia Elise Decloedt A 7,4 8,5 4,8
10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Francisco Sene Rios A 6,3 4,0 3,0 7,7 7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Gabriela Salomão Martins
3,0 2,5 2,5 1,8 5,0 1 1 0 0 1 0,5 0 0 1
Giuliano S. I. Cossolin A 5,4 4,8 1,5 5,7 6,0 0 0 0,5 1 1 1 0 0 1
Giuseppe Turini Neto A 5,9 5,3 5,5
7,8 1 1 0,5 1 1 1 0,5 0 1
Guilherme Nunes Fernandez A 6,0 1,3 5,0 4,9 10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Gulherme Pereira Bento Garcia A 6,4 4,5 2,4 7 8,9 1 1 1 1 1 1 0,5 0,5 1
Helena Asmar de Abreu Andrade A 5,4 3,0 5,5
10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ingo Rinaldelli
3,8 4,0 2,2
6,2 1 1 0,5 1 1 1 0 0 0
Ivan Pereira Marques A 8,1 7,5 5,3 8,2 8,9 1 1 1 1 1 1 0,5 0,5 1
João Paulo Abujamra F 0,5


2,3 1 1 0 0 0 0 0 0 0
Lucas Andreata Franchin S Ribeiro A 6,3 6,0 3,5 5,3 8,9 1 1 1 1 1 1 0,5 0,5 1
Lucas Gonçalves A 5,5 5,0 1,3 4,8 7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Luiz Antonio Urtiga e Silva A 5,4 4,0 4,1 5,3 7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Marcel Trabulsi
3,0
 0,5 3,5
5,0 0 1 0 1 1 0,5 0 0 1
Marcelo T. Kawata A 6,9 3,5 5,9 8,8 5,0 0 0 0,5 1 1 1 0 0 1
Matheus Magalhães Pereira de Andrade A 5,2 6,4 2,5
7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Paulo Fiorini A 6,6 4,5 6,9
10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Paulo Leite da Silva A 7,2 7,0 6,6
8,4 1 1 1 1 1 1 0,5 0 1
Priscila Rezende Fernandes A 5,3 4,0 2,4 5,7 6,7 1 1 0 1 1 1 0 0 1
Rafael Rodrigues A 6,0 4,9 2,3 6,9 6,2 1 1 0 1 1 0 0,5 0 1
Rafaela Machado Gengo
3,8 3,0 3,4 3,7 4,5 1 1 0 1 0 0 0 0 1
Raimundo Costa Passos R 2,0
3,2 1,8 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Raul Eigenheer Meloni A 6,8 7,0 6,1
7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Renan Marcel Barros dos Santos A 8,7 9,1 8,4
8,4 1 1 1 1 1 1 0,5 0 1
Renan Sanchez Viestel A 5,5 4,5 4,9
8,4 1 1 1 1 1 1 0,5 0 1
Renata Ferreira de Barros A 6,3 4,0 7,7
7,8 1 1 0 1 0 1 1 1 1
Renata Pereira Martins Gomes A 5,8 6,0 1,3 4,2 8,4 1 1 0,5 1 1 0 1 1 1
Renato Aruta Monteiro A 6,0 4,5 7,5
5,6 1 1 0 0 1 1 0 0 1
Renato Bezner Martinez A 7,2 7,9 5,2
9,5 1 1 0,5 1 1 1 1 1 1
Renato Contessotto A 7,7 6,3 7,9
10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Rodrigo Felipe Soares
3,9 1,5 4,0 4,5 2,3 1 1 0 0 0 0 0 0 0
Rodrigo Matrangolo Bustamante A 5,5 5,7 2,5 4,3 7,3 1 1 0,5 1 1 1 0 0 1
Sergio Caetano Filho A 7,7 7,8 6,7
9,5 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1
Simone Campos Carrera A 5,0 3,5 3,8
10,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tassiana Fernanda Genzini de Carvalho A 7,6 9,0 6,1
7,8 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Thyago de Oliveira da Silva A 5,0 5,5
4,7 4,5 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Tiago Dias Provenzano
3,7 6,3

5,6 1 1 1 1 1 0 0 0 0
Victor Câmara Maurer A 5,0 4,5 3,5 2,7 8,9 1 1 1 1 1 1 1 0 1
Vitor Yugo Taga A 5,2 0,0 5,0 5,9 3,9 1 1 0 1 0 0 0 0 0,5
Wellington Martins Novais F 0,7 0,0

3,4 1 1 0 1 0 0 0 0 0






Temas do curso:

Ajuste de funções por mínimos quadrados (lineares nos parâmetros: polinômios, senos e cossenos etc)
Eliminação Gaussiana com controle de algarismos significativos
Método de Newton para zeros de funções
Integração (Trapézios e Simpson)
Interpolação e spline

Aula a aula:

02/03 - (Ativ.) Coletamos dados de peso vs. altura, plotamos em papel milimetrado e cada um propôs um ajuste de reta visual, coletando os coeficientes de sua reta
05/03 - Usamos os dados da aula anterior e fizemos gráficos e análises no Scilab
09/03 - (Ativ.) Com N=6 pontos, ajustamos uma reta procurando o mínimo da diferença quadrática. Igualamos a zero as derivadas parciais em relação aos parâmetros e resultou um sistema linear 2x2
12/03 - O mesmo problema da aula anterior, do ponto de vista abstrato. Aplicamos ao exemplo da aula e discutimos um pouco da solução do sistema linear por eliminação gaussiana no caso 2x2. Aproveitamos para discutir contas com número fixo de algarismos significativos
16/03 - Discussão sobre o que é uma "família de funções linear nos parâmetros". Por exemplo, todos os polinômios de um determinado grau. Discutimos também uma família envolvendo seno e cosseno, com 3 parâmetros, que poderia ser útil para o ajuste de dados de temperatura ao longo do ano. (Já temos uma ideia empírica do valor dos parâmetros, mas ainda faremos o ajuste por mínimos quadrados desses dados.)
19/03 - (Entrega da atividade com Scilab adiada por razões técnicas)  Voltamos a discutir o Scilab, em cima da tarefa que tinha sido passada, com os dados de 6 pontos inventados no dia 09/03.
23/03 -  (Ativ.) Ajuste de polinômio quadrático para os dados inventados de 09/03. O ajuste envolveu a resolução de um sistema linear por escalonamento.
26/03 -  (Ativ.) Ajuste harmônico para os dados de temperatura (reais) trazidos e discutidos no dia 16/03.
30/03 -  Discussão das duas atividades anteriores. Dúvidas. 
02/04 -  Discussão mais detalhada sobre escalonamento, incluindo contas com número fixado de algarismos significativos.
13/04, 16/04 - (Não necessariamente nesta ordem:) Análise harmônica. Truques para resolver alguns problemas não lineares. Problemas com peso, quando há barras de erro de tamanhos variáveis.
23/04 - P1
27/04 - Revisão dos aspectos teóricos da P1. Métodos de integração numérica: Trapézios.
30/05 - Método de Simpson: princípios e fórmula para espaçamento regular
04/05 - Finalizando a dedução do Método de Simpson. Apresentação das fórmula de erro.
07/05 - (Atividade) Cálculo de log 2 com os métodos de Trapézio e Simpson, avaliação dos erros real e teórico
11/05 - (Atividade) Finalização da atividade da aula anterior. Discussão sobre a integração da gaussiana, avaliação do erro de Simpson a priori.
14/05 - (Atividade) Finalização da gaussiana: o objetivo é escolher o tamanho da partição em função do erro desejado.
18/05 - Exemplo com a integração de sen(x^2) no intervalo [0.5,1]. Mais sobre a estimativa do módulo de uma função sem achar o máximo exato.
21/05 - Finalização do exemplo. Discussão sobre a escolha do número de casas decimais.
01/06 - Método de Newton. Fórmula de iteração. Exemplos.
04/06 - Método de Newton. Atividade: esboço de um polinômio de grau 4, com a determinação precisa de raízes, pontos e valores críticos, e pontos e valores de inflexão.
08/06 - Método de Newton. Uma situação de convergência garantida, e uma abordagem sistemática de polinômios.
15/06 - Revisão: Método de Newton e Integração Numérica

Tarefas

PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
Atenção:
1. No exercício número 8 é para ignorar o ponto (x_11,y_11)=(3.0,0.94).
Mesmo que fosse dado o x_11=3.0, por coerência eu deveria dar o mesmo valor
que no x_1=0.0 e depois ignorá-lo! Resumo: ignorem esse ponto.
2. (Na prova distribuirei esse comentário com mais detalhes)
Quando calculamos a fase usando a arcotangente, temos que tomar um cuidado. Há
dois ângulos possíveis para uma dada tangente, separados por pi. A calculadora só dá
o resultado entre -pi/2 e pi/2, mas se somarmos pi ao resultado teremos um resultado
legítimo. Como distinguir entre os dois? Veja que entre -pi/2 e pi/2 o cosseno é sempre
positivo, caso contrário sempre negativo (estou excluindo os extremos). Então o
sinal do cosseno determina se devemos pegar o resultado da calculadora para a arcotangente ou se somaremos
pi a esse resultado. Se a arcotangente for infinita, aí decidimos se é pi/2 ou 3pi/2 olhando o sinal
do seno.

Exercício para estudar antes da P2:
Estimar erro do Método de Simpson para f(x)=ex/x no intervalo [1,3].
Importante: todas as derivadas de f(x) são um produto de três fatores: (uma potência negativa de x), (ex) e (um polinômio).
Faça de duas maneiras diferentes, mas a segunda maneira faça de 3 submaneiras diferentes:
1. Usando a dica acima, calcule os pontos críticos da quarta derivada para usá-los na determinação exata do máximo
do módulo da quarta derivada. Você terá que usar o Método de Newton aplicado a polinômios. Cuidado: nem sempre
um polinômio de grau n tem n raízes!
2. Faça a estimativa do máximo, determinando uma constante que é maior do que o módulo da quarta derivada em
qualquer x do intervalo pedido. Você pode (e deveria) fazer de 3 maneiras:
a. Com a potência negativa e a exponencial fatoradas (essa é a pior)
b. Com apenas a exponencial fatorada (um pouco melhor)
c. Sem fatoração: comece com a expressão da quarta derivada como uma soma onde cada termo é uma potência
negativa multiplicada pela exponencial. Neste caso, tente ser preciso na estimativa de cada produto da forma x-nex.


A primeira tarefa foi cancelada. Agora temos uma tarefa-EP com motivação geocronológica.
EP1
Atenção: leia com carinho. É mais blá-blá-blá do que coisa para fazer. Facinho.
Prazo: 01/06
Arquivo com os dados
Dicas (que já estavam aqui antes):
- no console do Scilab, defina uma variável com o path do arquivo. Por exemplo, >Dados='C:/Users/colli/Documents/...../nome.txt'
- depois leia o arquivo com read. Por exemplo, > D=read(Dados,56,2)  Isso pede para ler o arquivo em 56 linhas e 2 colunas, gravando tudo na matriz D
- você pode "retirar" as duas colunas em vetores separados: > x = D(:,1)   e  > y = D(:,2)  
- com plot2d(x,y,style=0) você tem o gráfico
- monte a matriz do sistema linear de ajuste por mínimos quadrados e a matriz coluna de termos independentes (isso é com vocês)
- use o comando "linsolve" para resolver. A grafia é [c,L]=linsolve(A,-b). O que faz? Resolve o sistema Ax=b e coloca o resultado no vetor c. Não se importe com a matriz L, que ficará vazia.